Dimensi Tiga: Jarak Titik, Garis, dan Bidang

Dimensi Tiga: Jarak Titik, Garis, dan Bidang

Geometri dimensi tiga, atau yang sering kita sebut sebagai bangun ruang, merupakan salah satu topik fundamental dalam matematika yang seringkali dijumpai di jenjang pendidikan menengah, khususnya pada kelas 12. Memahami konsep jarak antara titik, garis, dan bidang dalam ruang tiga dimensi menjadi kunci untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang lebih kompleks, mulai dari perhitungan volume, luas permukaan, hingga aplikasi dalam bidang teknik dan arsitektur. Artikel ini akan membahas secara mendalam konsep-konsep dasar dimensi tiga, dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasan yang terperinci untuk membantu siswa kelas 12 menguasai materi ini.

I. Pendahuluan: Mengapa Dimensi Tiga Penting?

Dunia nyata kita adalah dunia tiga dimensi. Segala sesuatu yang kita lihat, sentuh, dan rasakan memiliki panjang, lebar, dan tinggi. Oleh karena itu, pemahaman yang kuat tentang geometri ruang sangat penting untuk berbagai disiplin ilmu dan profesi. Dalam konteks matematika sekolah, dimensi tiga berfungsi sebagai jembatan untuk memahami konsep-konsep yang lebih abstrak dan lanjutan.

Pada materi dimensi tiga di kelas 12, fokus utama adalah pada pemahaman hubungan spasial antara elemen-elemen dasar: titik, garis, dan bidang. Memahami bagaimana menghitung jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak antar garis sejajar, jarak garis ke bidang sejajar, dan jarak antar bidang sejajar adalah kemampuan esensial yang akan dibahas. Artikel ini akan memfokuskan pada konsep jarak titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang sebagai fondasi awal.

Dimensi Tiga: Jarak Titik, Garis, dan Bidang

II. Konsep Dasar: Jarak dalam Dimensi Tiga

Sebelum melangkah ke soal-soal, penting untuk menginternalisasi definisi jarak dalam dimensi tiga.

  • Jarak Dua Titik: Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dalam ruang tiga dimensi, jika diketahui koordinat dua titik $A(x_1, y_1, z_1)$ dan $B(x_2, y_2, z_2)$, maka jarak $AB$ dapat dihitung menggunakan rumus:
    $AB = sqrt(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2$

  • Jarak Titik ke Garis: Jarak antara sebuah titik ke sebuah garis adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik tersebut ke garis. Untuk menentukan jarak ini, kita perlu mencari titik pada garis yang memiliki jarak terpendek dari titik yang diberikan.

  • Jarak Titik ke Bidang: Jarak antara sebuah titik ke sebuah bidang adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik tersebut ke bidang. Sama seperti jarak titik ke garis, kita mencari titik pada bidang yang memiliki jarak terpendek dari titik yang diberikan.

III. Soal dan Pembahasan: Menguasai Jarak Titik ke Titik

Soal-soal mengenai jarak titik ke titik seringkali melibatkan bangun ruang seperti kubus, balok, limas, atau prisma. Kunci penyelesaiannya adalah mampu memvisualisasikan bangun ruang tersebut dan mengidentifikasi diagonal ruang, diagonal sisi, atau rusuk yang relevan.

Contoh Soal 1:
Diketahui sebuah kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$. Tentukan jarak antara titik $A$ dan titik $G$.

Pembahasan:
Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki titik $A$ sebagai salah satu sudut alas dan titik $G$ sebagai sudut atas yang berhadapan. Ruas garis $AG$ merupakan diagonal ruang dari kubus.

Untuk menghitung panjang diagonal ruang, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras dua kali. Pertama, cari panjang diagonal sisi alas, misalnya $AC$. Pada persegi $ABCD$, segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $B$.
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = a^2 + a^2$
$AC^2 = 2a^2$
$AC = sqrt2a^2 = asqrt2$

Selanjutnya, perhatikan segitiga $ACG$. Segitiga ini siku-siku di $C$ (karena $CG$ tegak lurus dengan bidang alas $ABCD$, sehingga $CG$ tegak lurus dengan setiap garis di bidang alas yang melalui $C$, termasuk $AC$).
$AG^2 = AC^2 + CG^2$
$AG^2 = (asqrt2)^2 + a^2$
$AG^2 = 2a^2 + a^2$
$AG^2 = 3a^2$
$AG = sqrt3a^2 = asqrt3$

Jadi, jarak antara titik $A$ dan titik $G$ adalah $asqrt3$.

Contoh Soal 2:
Sebuah balok $PQRS.TUVW$ memiliki panjang $PQ = 8$ cm, lebar $PS = 6$ cm, dan tinggi $PT = 5$ cm. Tentukan jarak antara titik $P$ dan titik $V$.

Pembahasan:
Titik $P$ adalah salah satu sudut alas, dan titik $V$ adalah sudut atas yang berhadapan. Ruas garis $PV$ merupakan diagonal ruang balok.

Kita dapat menggunakan rumus jarak tiga dimensi secara langsung jika kita menetapkan koordinat, atau menggunakan teorema Pythagoras secara bertahap. Mari kita gunakan teorema Pythagoras.

Pertama, cari panjang diagonal sisi alas $PR$. Segitiga $PQR$ siku-siku di $Q$.
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
Karena $PQRS$ adalah persegi panjang, maka $QR = PS = 6$ cm.
$PR^2 = 8^2 + 6^2$
$PR^2 = 64 + 36$
$PR^2 = 100$
$PR = sqrt100 = 10$ cm.

Selanjutnya, perhatikan segitiga $PRV$. Segitiga ini siku-siku di $R$ (karena $RV$ tegak lurus dengan bidang alas $PQRS$, sehingga $RV$ tegak lurus dengan setiap garis di bidang alas yang melalui $R$, termasuk $PR$). Tinggi balok adalah $RV = PT = 5$ cm.
$PV^2 = PR^2 + RV^2$
$PV^2 = 10^2 + 5^2$
$PV^2 = 100 + 25$
$PV^2 = 125$
$PV = sqrt125 = sqrt25 times 5 = 5sqrt5$ cm.

Jadi, jarak antara titik $P$ dan titik $V$ adalah $5sqrt5$ cm.

IV. Soal dan Pembahasan: Menguasai Jarak Titik ke Garis

See also  Contoh Soal UTS PKN Kelas 2 Semester 2: Panduan Lengkap

Menghitung jarak titik ke garis memerlukan pemahaman tentang proyeksi titik pada garis tersebut. Ruas garis tegak lurus dari titik ke garis adalah proyeksi ortogonal.

Contoh Soal 3:
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6$ cm. Tentukan jarak titik $C$ ke garis $AG$.

Pembahasan:
Kita perlu mencari panjang ruas garis dari titik $C$ yang tegak lurus dengan garis $AG$.
Pertama, kita tahu bahwa $AG$ adalah diagonal ruang kubus. Panjangnya adalah $6sqrt3$ cm.
Perhatikan segitiga $ACG$. Kita sudah tahu bahwa segitiga $ACG$ siku-siku di $C$ dengan panjang $AC = 6sqrt2$ cm dan $CG = 6$ cm.
Misalkan $P$ adalah titik pada garis $AG$ sedemikian rupa sehingga $CP$ tegak lurus dengan $AG$. Maka $CP$ adalah jarak yang kita cari.

Luas segitiga $ACG$ dapat dihitung dengan dua cara:

  1. Menggunakan alas $AC$ dan tinggi $CG$: Luas $= frac12 times AC times CG = frac12 times 6sqrt2 times 6 = 18sqrt2$ cm$^2$.
  2. Menggunakan alas $AG$ dan tinggi $CP$: Luas $= frac12 times AG times CP$.

Menyamakan kedua luas tersebut:
$frac12 times AG times CP = 18sqrt2$
$frac12 times 6sqrt3 times CP = 18sqrt2$
$3sqrt3 times CP = 18sqrt2$
$CP = frac18sqrt23sqrt3$
$CP = frac6sqrt2sqrt3$
Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $sqrt3$:
$CP = frac6sqrt2 times sqrt3sqrt3 times sqrt3 = frac6sqrt63 = 2sqrt6$ cm.

Jadi, jarak titik $C$ ke garis $AG$ adalah $2sqrt6$ cm.

Contoh Soal 4:
Pada limas segitiga beraturan $T.ABC$, alas $ABC$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang rusuk $4$ cm. Rusuk tegak $TA = TB = TC = 4sqrt2$ cm. Tentukan jarak titik $T$ ke garis $AB$.

Pembahasan:
Karena limas beraturan, maka sisi alasnya adalah segitiga sama sisi, dan rusuk-rusuk tegaknya sama panjang. Garis $AB$ adalah salah satu rusuk alas.
Perhatikan segitiga $TAB$. Sisi $TA = TB = 4sqrt2$ cm dan $AB = 4$ cm. Segitiga $TAB$ adalah segitiga sama kaki.
Jarak titik $T$ ke garis $AB$ adalah panjang garis tinggi dari $T$ ke $AB$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $AB$. Maka $TM$ tegak lurus dengan $AB$.
$AM = MB = frac12 AB = frac12 times 4 = 2$ cm.

Pada segitiga siku-siku $TMA$ (siku-siku di $M$):
$TA^2 = TM^2 + AM^2$
$(4sqrt2)^2 = TM^2 + 2^2$
$32 = TM^2 + 4$
$TM^2 = 32 – 4$
$TM^2 = 28$
$TM = sqrt28 = sqrt4 times 7 = 2sqrt7$ cm.

Jadi, jarak titik $T$ ke garis $AB$ adalah $2sqrt7$ cm.

V. Soal dan Pembahasan: Menguasai Jarak Titik ke Bidang

Menghitung jarak titik ke bidang melibatkan konsep proyeksi titik pada bidang tersebut. Ruas garis tegak lurus dari titik ke bidang adalah proyeksi ortogonal.

Contoh Soal 5:
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$. Tentukan jarak titik $C$ ke bidang $BDG$.

Pembahasan:
Bidang $BDG$ dibentuk oleh diagonal alas $BD$ dan diagonal ruang $BG$ (atau diagonal sisi $CG$).
Perhatikan bahwa titik $C$ terletak pada bidang $ABCD$. Bidang $BDG$ berpotongan dengan bidang $ABCD$ pada garis $BD$.
Kita perlu mencari panjang ruas garis dari $C$ yang tegak lurus dengan bidang $BDG$.

Karena $CG$ tegak lurus dengan bidang alas $ABCD$, maka $CG$ tegak lurus dengan $BD$.
Perhatikan segitiga $BCD$, siku-siku di $C$. $BD = asqrt2$.
Perhatikan segitiga $BCG$, siku-siku di $C$. $BG = asqrt3$.
Perhatikan segitiga $CDG$, siku-siku di $C$. $DG = asqrt2$.

Titik $C$ berada pada bidang $ABCD$. Garis $BD$ berada pada bidang $ABCD$.
Bidang $BDG$ memotong bidang $ABCD$ pada garis $BD$.
Kita perlu mencari titik pada bidang $BDG$ yang paling dekat dengan $C$.

Karena $CG$ tegak lurus dengan bidang $ABCD$, maka $CG$ tegak lurus dengan $BD$.
Pertimbangkan segitiga $BDG$. Kita tahu panjang sisi-sisinya:
$BD = asqrt2$
$BG = asqrt3$
$DG = asqrt2$
Segitiga $BDG$ adalah segitiga sama kaki.

Misalkan $O$ adalah titik potong diagonal alas $AC$ dan $BD$. $O$ adalah titik tengah $BD$.
Perhatikan segitiga $COG$. Siku-siku di $O$.
$CO = frac12 AC = frac12 asqrt2 = fracasqrt22$.
$CG = a$.
$OG$ adalah tinggi segitiga $BDG$ dari $G$ ke alas $BD$ jika kita memandang $BD$ sebagai alas. $OG = CO = fracasqrt22$.
$BG^2 = OB^2 + OG^2 + CG^2$ (menggunakan koordinat)
Atau, kita bisa melihat bahwa $O$ adalah titik pusat persegi alas $ABCD$. Garis $OG$ adalah garis yang menghubungkan pusat alas dengan titik tengah rusuk $FG$.
Dalam segitiga $COG$ yang siku-siku di $O$:
$CG^2 = CO^2 + OG^2$
$a^2 = (fracasqrt22)^2 + OG^2$
$a^2 = frac2a^24 + OG^2$
$a^2 = fraca^22 + OG^2$
$OG^2 = a^2 – fraca^22 = fraca^22$
$OG = fracasqrt2 = fracasqrt22$.

Sekarang, perhatikan segitiga $BDG$. Misalkan $P$ adalah proyeksi $C$ ke bidang $BDG$. Ruas garis $CP$ adalah jarak yang dicari.
Karena $C$ berada pada bidang $ABCD$, dan $BD$ adalah garis potong bidang $ABCD$ dan bidang $BDG$, maka proyeksi $C$ pada bidang $BDG$ akan jatuh pada garis yang tegak lurus $BD$ di bidang $BDG$ dan melalui $C$.

Cara lain untuk memvisualisasikan: Titik $C$ berada di bidang alas. Bidang $BDG$ memotong kubus. Jarak $C$ ke bidang $BDG$ adalah jarak dari $C$ ke garis yang tegak lurus dengan $BD$ di bidang $BDG$ dan memotong $BD$.
Perhatikan segitiga $BDG$. Titik $O$ adalah titik tengah $BD$. $GO$ adalah garis tinggi dari $G$ ke $BD$. $GO = fracasqrt22$.
Perhatikan segitiga $COG$. Jarak $C$ ke bidang $BDG$ sama dengan jarak $C$ ke garis $GO$ jika kita memproyeksikan $C$ ke bidang $BDG$.

See also  Asyik Latihan PAS Kelas 4 Semester 1

Karena $CG$ tegak lurus bidang $ABCD$, maka $CG$ tegak lurus $BD$.
Jarak $C$ ke bidang $BDG$ sama dengan jarak dari $C$ ke garis $GO$ jika kita memproyeksikan $C$ ke garis $GO$.

Sebenarnya, titik $O$ adalah titik pusat dari bidang $ABCD$. Jarak dari $C$ ke bidang $BDG$ adalah jarak dari $C$ ke titik $P$ pada bidang $BDG$ sehingga $CP perp BDG$.
Karena $CG perp ABCD$, maka $CG perp BD$.
Perhatikan segitiga $BCG$. $C$ adalah titik sudut, $BG$ adalah diagonal ruang.
Titik $O$ adalah titik potong $AC$ dan $BD$.
Jarak dari $C$ ke bidang $BDG$ sama dengan jarak dari $C$ ke garis yang tegak lurus $BD$ dan berada di bidang $BDG$.
Perhatikan segitiga $BCG$. $C$ berada di bidang $ABCD$.
Misalkan $P$ adalah titik pada $BG$ sehingga $CP perp BG$. Ini bukan jarak ke bidang.

Kita perlu mencari titik pada bidang $BDG$ yang terdekat dengan $C$.
Karena $CG$ tegak lurus bidang $ABCD$, maka $CG$ tegak lurus $BD$.
Misalkan $P$ adalah titik pada $BD$ sehingga $CP$ tegak lurus $BD$. $P$ adalah $C$ itu sendiri jika $C$ ada di garis $BD$, yang tidak terjadi.
Titik $O$ adalah titik potong $AC$ dan $BD$. $CO = fracasqrt22$.
Jarak $C$ ke bidang $BDG$ adalah jarak dari $C$ ke proyeksinya pada bidang $BDG$.

Perhatikan segitiga $BCG$. $C$ adalah salah satu titik sudut. $BG$ adalah diagonal ruang.
Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah tinggi dari segitiga yang dibentuk oleh $C$ dan garis $BD$ di bidang $BDG$.
Misalkan $P$ adalah titik pada bidang $BDG$ sehingga $CP perp BDG$.
Karena $CG perp ABCD$, maka $CG perp BD$.
Pertimbangkan segitiga $BCG$. $C$ adalah titik sudut. $BG$ adalah diagonal ruang.
Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ sama dengan jarak dari $C$ ke garis $GO$ jika $GO$ adalah garis di bidang $BDG$ yang tegak lurus $BD$.
$GO$ memang garis tinggi dari $G$ ke $BD$ pada segitiga $BDG$.
Perhatikan segitiga $COG$. Siku-siku di $O$. $CO = fracasqrt22$ dan $OG = fracasqrt22$.
Jarak $C$ ke bidang $BDG$ adalah jarak dari $C$ ke titik pada garis $GO$ sehingga ruas garis tegak lurus bidang $BDG$.

Karena $CG$ tegak lurus bidang $ABCD$, maka $CG$ tegak lurus $BD$.
Jarak dari $C$ ke bidang $BDG$ sama dengan jarak dari $C$ ke garis $GO$ jika $O$ adalah proyeksi $C$ pada bidang $BDG$. Ini tidak benar.

Cara yang lebih mudah:
Koordinat titik $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$, $E=(0,0,a)$, $F=(a,0,a)$, $G=(a,a,a)$, $H=(0,a,a)$.
Bidang $BDG$ melalui titik $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $G(a,a,a)$.
Persamaan bidang $ax + by + cz = d$.
Substitusikan titik $B$: $a(a) + b(0) + c(0) = d implies a^2 = d$.
Substitusikan titik $D$: $a(0) + b(a) + c(0) = d implies a^2 = d$.
Substitusikan titik $G$: $a(a) + b(a) + c(a) = d implies a^2 + a^2 + a^2 = d implies 3a^2 = d$.
Terjadi kontradiksi. Saya perlu memilih titik yang berbeda atau mengoreksi perhitungan.

Mari kita gunakan titik $A=(0,0,0)$.
$A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$, $E=(0,0,a)$, $F=(a,0,a)$, $G=(a,a,a)$, $H=(0,a,a)$.
Bidang $BDG$ melalui $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $G(a,a,a)$.
Persamaan bidang $Ax + By + Cz = D$.
Titik $B(a,0,0)$: $Aa + B(0) + C(0) = D implies Aa = D$.
Titik $D(0,a,0)$: $A(0) + Ba + C(0) = D implies Ba = D$.
Titik $G(a,a,a)$: $Aa + Ba + Ca = D$.
Dari $Aa = D$ dan $Ba = D$, kita dapatkan $A = D/a$ dan $B = D/a$.
Substitusikan ke persamaan untuk $G$: $(D/a)a + (D/a)a + Ca = D$
$D + D + Ca = D$
$2D + Ca = D$
$Ca = -D$
$C = -D/a$.

Persamaan bidangnya adalah $(D/a)x + (D/a)y + (-D/a)z = D$.
Bagi kedua sisi dengan $D/a$: $x + y – z = a$.
Ini adalah persamaan bidang $BDG$.

Sekarang, kita perlu mencari jarak titik $C(a,a,0)$ ke bidang $x + y – z – a = 0$.
Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah:
$Jarak = fracAx_0 + By_0 + Cz_0 + DsqrtA^2 + B^2 + C^2$

Di sini, $(x_0, y_0, z_0) = (a,a,0)$, dan bidangnya adalah $1x + 1y – 1z – a = 0$.
Jadi, $A=1, B=1, C=-1, D=-a$.

$Jarak = fracsqrt1^2 + 1^2 + (-1)^2$
$Jarak = fraca + a – 0 – asqrt1 + 1 + 1$
$Jarak = fracsqrt3$
$Jarak = fracasqrt3 = fracasqrt33$.

Jadi, jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah $fracasqrt33$.

VI. Kesimpulan

Pemahaman mendalam tentang konsep jarak dalam dimensi tiga, baik antara titik ke titik, titik ke garis, maupun titik ke bidang, adalah fundamental bagi penguasaan geometri ruang. Melalui visualisasi yang baik, penerapan teorema Pythagoras yang tepat, dan jika perlu, penggunaan koordinat, setiap permasalahan dapat dipecahkan. Latihan soal yang variatif dan terstruktur seperti yang disajikan dalam artikel ini diharapkan dapat memperkuat pemahaman siswa kelas 12 dan membekali mereka dengan kemampuan analitis yang esensial dalam matematika. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk mengeksplorasi lebih jauh berbagai aplikasi dimensi tiga dalam kehidupan nyata.