Stieaub.ac.id

Bank Soal Matematika Peminatan Kelas X Semester 1

Pendahuluan

Matematika Peminatan kelas X semester 1 merupakan fondasi penting bagi siswa yang ingin mendalami matematika lebih lanjut. Materi yang dipelajari pada semester ini meliputi konsep dasar eksponen, logaritma, persamaan dan pertidaksamaan eksponen, serta persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Penguasaan materi ini akan sangat membantu siswa dalam memahami konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang pendidikan selanjutnya.

Untuk membantu siswa dalam mempersiapkan diri menghadapi ulangan harian, ujian tengah semester, dan ujian akhir semester, artikel ini menyajikan bank soal matematika peminatan kelas X semester 1 yang dilengkapi dengan pembahasan lengkap. Bank soal ini mencakup berbagai tipe soal, mulai dari soal yang mudah hingga soal yang menantang, sehingga siswa dapat menguji pemahaman mereka secara komprehensif.

I. Eksponen

Eksponen merupakan cara penulisan singkat untuk perkalian berulang suatu bilangan. Bentuk umum eksponen adalah aⁿ, di mana a disebut basis dan n disebut eksponen.

A. Konsep Dasar Eksponen

• Definisi: aⁿ = a × a × a × … × a (sebanyak n faktor)
• Sifat-sifat Eksponen:
  1. a^m × aⁿ = a^m+n
  2. a^m / aⁿ = a^m-n
  3. (a^m)ⁿ = a^m×n
  4. (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
  5. (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
  6. a⁰ = 1 (dengan a ≠ 0)
  7. a^-n = 1 / aⁿ
  8. a^m/n = ⁿ√a^m

B. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Soal: Sederhanakan (2³ × 2^-1) / 2²
   Pembahasan:
   (2³ × 2^-1) / 2² = 2^3+(-1) / 2² = 2² / 2² = 2^2-2 = 2⁰ = 1

2. Soal: Nilai dari (16)^3/4 adalah…
   Pembahasan:
   (16)^3/4 = (2⁴)^3/4 = 2^4×(3/4) = 2³ = 8

3. Soal: Sederhanakan (a⁵b^-3c) / (a^-2bc^-1)
   Pembahasan:
   (a⁵b^-3c) / (a^-2bc^-1) = a^5-(-2)b^-3-1c^1-(-1) = a⁷b^-4c² = (a⁷c²) / b⁴

C. Soal Latihan Eksponen

1. Sederhanakan: (3² × 3^-5) / 3^-1
2. Nilai dari (27)^2/3 adalah…
3. Sederhanakan: (x⁴y^-2z³) / (x^-1yz^-2)
4. Hitunglah: (4^1/2 + 8^1/3)²
5. Jika 2^x = 8, maka nilai x adalah…

II. Logaritma

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Jika a^x = b, maka log_a b = x.

A. Konsep Dasar Logaritma

• Definisi: log_a b = x ⇔ a^x = b
• Sifat-sifat Logaritma:
  1. log_a (b × c) = log_a b + log_a c
  2. log_a (b / c) = log_a b – log_a c
  3. log_a bⁿ = n × log_a b
  4. log_a a = 1
  5. log_a 1 = 0
  6. ^clog b = log_a b / log_a c (Rumus perubahan basis)
  7. a^{log_a b} = b

B. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Soal: Nilai dari log₂ 8 adalah…
   Pembahasan:
   log₂ 8 = log₂ 2³ = 3 × log₂ 2 = 3 × 1 = 3

2. Soal: Sederhanakan log₃ 27 + log₃ 9 – log₃ 3
   Pembahasan:
   log₃ 27 + log₃ 9 – log₃ 3 = log₃ (27 × 9 / 3) = log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4

3. Soal: Jika log 2 = 0.3010, maka log 200 adalah…
   Pembahasan:
   log 200 = log (2 × 100) = log 2 + log 100 = 0.3010 + 2 = 2.3010

C. Soal Latihan Logaritma

1. Nilai dari log₅ 125 adalah…
2. Sederhanakan log₂ 16 – log₂ 4 + log₂ 8
3. Jika log 3 = 0.4771, maka log 3000 adalah…
4. Tentukan nilai x jika log₂ (x + 1) = 3
5. Sederhanakan: ²log 3 × ³log 5 × ⁵log 8

III. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang variabelnya terdapat pada eksponen.

A. Bentuk-bentuk Persamaan Eksponen

1. a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)
2. a^f(x) = b^f(x) ⇒ f(x) = 0
3. f(x)^g(x) = f(x)^h(x) ⇒ g(x) = h(x) atau f(x) = 1 atau f(x) = 0 (dengan syarat g(x) dan h(x) positif) atau f(x) = -1 (dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil)
4. A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C = 0 (bentuk kuadrat)

B. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Soal: Tentukan nilai x dari 2^x = 16
   Pembahasan:
   2^x = 16 ⇒ 2^x = 2⁴ ⇒ x = 4

2. Soal: Tentukan nilai x dari 3^x+1 = 9^x-1
   Pembahasan:
   3^x+1 = 9^x-1 ⇒ 3^x+1 = (3²)^x-1 ⇒ 3^x+1 = 3^2x-2 ⇒ x + 1 = 2x – 2 ⇒ x = 3

3. Soal: Tentukan nilai x dari 4^x – 5 × 2^x + 4 = 0
   Pembahasan:
   Misalkan p = 2^x, maka 4^x = (2²)^x = (2^x)² = p²
   p² – 5p + 4 = 0 ⇒ (p – 1)(p – 4) = 0 ⇒ p = 1 atau p = 4

   • Jika p = 1, maka 2^x = 1 ⇒ 2^x = 2⁰ ⇒ x = 0
   • Jika p = 4, maka 2^x = 4 ⇒ 2^x = 2² ⇒ x = 2
     Jadi, x = 0 atau x = 2

C. Soal Latihan Persamaan Eksponen

1. Tentukan nilai x dari 5^x = 125
2. Tentukan nilai x dari 2^2x-1 = 8
3. Tentukan nilai x dari 3^{x2 – 3x – 4} = 1
4. Tentukan nilai x dari 9^x – 4 × 3^x + 3 = 0
5. Tentukan nilai x dari (x-2)^x+1 = (x-2)^x+3

IV. Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya terdapat dalam numerus atau basis logaritma.

A. Bentuk-bentuk Persamaan Logaritma

1. log_a f(x) = log_a g(x) ⇒ f(x) = g(x) (dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0)
2. log_a f(x) = b ⇒ f(x) = a^b (dengan syarat f(x) > 0)
3. A(log_a f(x))² + B(log_a f(x)) + C = 0 (bentuk kuadrat)

B. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Soal: Tentukan nilai x dari log₂ (x + 1) = 3
   Pembahasan:
   log₂ (x + 1) = 3 ⇒ x + 1 = 2³ ⇒ x + 1 = 8 ⇒ x = 7 (memenuhi syarat x + 1 > 0)

2. Soal: Tentukan nilai x dari log₃ (x² – 5x + 7) = log₃ 3
   Pembahasan:
   log₃ (x² – 5x + 7) = log₃ 3 ⇒ x² – 5x + 7 = 3 ⇒ x² – 5x + 4 = 0 ⇒ (x – 1)(x – 4) = 0 ⇒ x = 1 atau x = 4

   • Jika x = 1, maka x² – 5x + 7 = 1 – 5 + 7 = 3 > 0 (memenuhi syarat)
   • Jika x = 4, maka x² – 5x + 7 = 16 – 20 + 7 = 3 > 0 (memenuhi syarat)
     Jadi, x = 1 atau x = 4

3. Soal: Tentukan nilai x dari (log x)² – log x² – 3 = 0
   Pembahasan:
   (log x)² – log x² – 3 = 0 ⇒ (log x)² – 2log x – 3 = 0
   Misalkan p = log x, maka p² – 2p – 3 = 0 ⇒ (p – 3)(p + 1) = 0 ⇒ p = 3 atau p = -1

   • Jika p = 3, maka log x = 3 ⇒ x = 10³ = 1000
   • Jika p = -1, maka log x = -1 ⇒ x = 10^-1 = 1/10
     Jadi, x = 1000 atau x = 1/10

C. Soal Latihan Persamaan Logaritma

1. Tentukan nilai x dari log₅ (2x – 1) = 2
2. Tentukan nilai x dari log (x² – 4x + 5) = log 2
3. Tentukan nilai x dari ²log (x + 2) + ²log (x – 1) = 2
4. Tentukan nilai x dari (log x)² – 3log x + 2 = 0
5. Tentukan nilai x dari log_x 16 = 2

V. Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang variabelnya terdapat pada eksponen.

A. Sifat-sifat Pertidaksamaan Eksponen

• Untuk a > 1, jika a^f(x) > a^g(x) maka f(x) > g(x)
• Untuk 0 < a < 1, jika a^f(x) > a^g(x) maka f(x) < g(x)

B. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari 2^x > 8
   Pembahasan:
   2^x > 8 ⇒ 2^x > 2³ ⇒ x > 3
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x

2. Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari (1/3)^x < 9
   Pembahasan:
   (1/3)^x < 9 ⇒ (3^-1)^x < 3² ⇒ 3^-x < 3² ⇒ -x < 2 ⇒ x > -2
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x

C. Soal Latihan Pertidaksamaan Eksponen

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3^x < 27
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari (1/2)^x > 4
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2^2x-1 ≤ 8
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari 5^{x2 – 4x + 3} > 1
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari (0.2)^x+1 < 0.04

VI. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam numerus atau basis logaritma.

A. Sifat-sifat Pertidaksamaan Logaritma

• Untuk a > 1, jika log_a f(x) > log_a g(x) maka f(x) > g(x) (dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0)
• Untuk 0 < a < 1, jika log_a f(x) > log_a g(x) maka f(x) < g(x) (dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0)

B. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari log₂ (x + 1) > 2
   Pembahasan:
   log₂ (x + 1) > 2 ⇒ x + 1 > 2² ⇒ x + 1 > 4 ⇒ x > 3
   Syarat: x + 1 > 0 ⇒ x > -1
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x

2. Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari log_1/3 (x – 2) < -1
   Pembahasan:
   log_1/3 (x – 2) < -1 ⇒ x – 2 > (1/3)^-1 ⇒ x – 2 > 3 ⇒ x > 5
   Syarat: x – 2 > 0 ⇒ x > 2
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x > 5

C. Soal Latihan Pertidaksamaan Logaritma

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari log₃ (x – 2) < 1
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari log_1/2 (2x + 1) > -2
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari log (x² – 3x + 2) > 0
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari ²log (x + 3) + ²log (x – 1) < 3
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari log_x 9 > 2

Kesimpulan

Bank soal ini diharapkan dapat membantu siswa kelas X dalam memahami dan menguasai materi matematika peminatan semester 1. Dengan berlatih soal-soal yang beragam, siswa akan lebih siap menghadapi berbagai evaluasi pembelajaran. Selain berlatih soal, penting juga untuk memahami konsep dasar dan sifat-sifat yang berlaku pada setiap materi. Semoga sukses!